在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相...

（1）△EFB和△BDC相似：∠ABC=∠C=60°，∠BEP=∠DBC=60°-∠ABD；△BPF和△BDC相似：∠PBF=∠CBD，∠BPF=∠C=60°；由前面可知△BDC∽△BFP． （2）结论均成立，证法同（1）． （3）如果△BPE的面积是△BPF的面积的2倍，那么PE=2PF，根据（1）中得出的△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB，因此△BFP∽△EFB，那么EF：BF=BF：PF，BF2=EF•PF，BF=2PF，又有BE：BP=EF：BF，BF=PF，因此BF：PF==tan60°，而∠BPF=60°，所以∠BFP=90°，∠PBF=30°，因此∠EBP=30°，因此BD平分∠ABC． 【解析】 （1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB． 以△BDC∽△BFP以为例，证明如下： ∵∠C=∠BPF=60°，∠CBD=∠PBF， ∴△BDC∽△BFP． （2）结论均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB． （3）BD平分∠ABC时，△BPE的面积是△BPF的面积的2倍． 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBF=30°． ∵∠BPF=60°， ∴∠BFP=90°． ∴PF=PB． 又∵∠BEP=∠PBE=30°， ∴PE=PB． ∴PF=PE． ∴△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．