图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交...

图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A₁的直线分别与BC₁、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分．
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（1）求

的值；
（2）求MB、NB的长；
（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离．

（1）本题可通过相似三角形A1B1M和NBM得出的关于NB，A1B1，MB，MB1的比例关系式来求，比例关系式中A1B1，BB1均为正方形的边长，长度都是1，因此可将它们的值代入比例关系式中，将所得的式子经过变形即可得出所求的值；（2）由于直线MN将图（1）的图形分成面积相等的两部分，因此△BMN的面积为，由此可求出MB•NB的值，根据（1）已经得出的MB+NB=MB•NB可求出MB+NB的值，由此可根据韦达定理列出以MB，NB为根的一元二次方程，经过解方程即可求出MB、NB的值；（3）根据（2）的结果，不难得出B1M=EN，由于折叠后E与B点重合，因此B1M=BN，那么四边形B1MNB是个矩形，因此MN的长为正方形的边长．【解析】（1）∵△A1B1M∽△NBM且A1B1=BB1=1， ∴，即整理，得MB+NB=MB•NB，两边同除以MB•NB得；（2）由题意得，即MB•NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB•NB=5， ∴MB、NB分别是方程x2-5x+5=0的两个实数根．解方程，得x1=，x2=； ∵MB＜NB， ∴MB=，NB=；（3）由（2）知B1M=-1=， EN=4-=， ∵图（2）中的BN与图（1）中的EN相等， ∴BN=B1M； ∴四边形BB1MN是矩形， ∴MN的长是1．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等