如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E． （1）求证...

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质或平行线的性质易得OD⊥DE，故DE与⊙O相切； （2）本题方法较多，需分析图形，通过相似三角形的性质或三角函数的定义求出AB或圆的半径的值即可． （1）证明： 证法一：连接OD（1分） ∵点D为BC的中点，点O为AB的中点 ∴OD为△ABC的中位线 ∴OD∥AC（2分） ∴∠DEC=∠ODE ∵DE⊥AC ∴∠DEC=90°， ∴∠ODE=90° ∴DE⊥OD（3分） ∴DE是⊙O的切线（4分） 证法二：连接OD，AD（1分） ∵AB为直径 ∴∠BDA=90°，∠CDA=90° ∵∠C=30° ∴∠CAD=60° ∵DE⊥AC ∴∠AED=90° ∴∠ADE=30°（2分） ∵点D为BC的中点，AD⊥BC ∴∠BAD=∠CAD=60° ∵OA=OD ∴∠ODA=∠OAD=60°（3分） ∴∠ODE=90° ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线；（4分） （2）【解析】 解法一：连接AD ∵AB为直径 ∴∠BDA=90° ∵DE⊥AC ∴∠CED=90° 在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10（5分） ∵点D为BC的中点 ∴BD=CD=10 ∴AC=AB ∴∠B=∠C=30°（6分） 在Rt△ABD中．cos∠B=，cos∠30°=，AB=（7分） ∴⊙O的半径为（8分） 解法二：连接AD，过O点作OF⊥BD，垂足为F（5分） ∵AB为直径 ∴∠BDA=90° ∵D是BC的中点 ∴BD=CD ∴AC=AB ∴∠B=∠C=30°（6分） 在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10 ∴DB=CD=10，∴BF=5（7分） 在Rt△BFO中，cos∠B=，cos30°=，OB=（8分） 即⊙O的半径为．