已知：抛物线y=-x2-2（a-1）x-（a2-2a）与x轴交于点A（x1，0）...

（1）由于A、B两点是抛物线与x轴的交点，令抛物线的y=0，所得方程的根即为A、B的横坐标； （2）根据A、B的坐标可求出AB的长，以AB为底，C点纵坐标的绝对值为高即可求出△ABC的面积； （3）将x1、x2的表达式代入x1＜1＜x2中即可求出a的取值范围，结合a是整数的条件可求出a的值，由此可确定抛物线的解析式；求PQ的取值范围时，有两种解法； ①过C作CD⊥x轴于D，连接CQ；根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标，即可得到AD、CD的长，由此可求出∠BAC=60°，根据抛物线的对称性即可得到∠ABC=∠BAC=60°，由此可知△ABC是等边三角形，而△AMP、△BNP也是等边三角形，那么M、N分别在线段OC和线段BC上；易知CM∥PN，MP∥BC，则四边形PNCM是平行四边形，而Q是MN的中点，则Q也是CP的中点，即C、Q、P三点共线，由此可得PC=2PQ；在等边三角形ABC中，P在线段AB上运动，且不与A、B重合，因此PQ的取值范围应该在AD和AC长之间，可据此求出PQ的取值范围； ②分别过M、N作x轴的垂线，设垂足为M1、N1，可设出P点的坐标，进而可表示出AM1、MM1以及BN1、NN1的长，即可求出M、N的坐标，由于Q是MN的中点，根据M、N的坐标即可求出Q点的坐标，进而可求出PQ的长，由于P在A、B间运动，因此P点横坐标的取值范围为0～2，可据此求出PQ的取值范围． 【解析】 （1）∵拋物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）， ∴x1、x2是关于x的方程-的解； 方程可化简为x2+2（a-1）x+（a2-2a）=0； 解方程，得x=-a或x=-a+2； ∵x1＜x2，-a＜-a+2，（1分） ∴x1=-a，x2=-a+2 ∴A、B两点的坐标分别为A（-a，0），B（-a+2，0）（2分） （2）∵AB=2，顶点C的纵坐标为，（3分） ∴△ABC的面积等于；（4分） （3）∵x1＜1＜x2， ∴-a＜1＜-a+2 ∴-1＜a＜1；（5分） ∵a是整数， ∴a=0， 即所求拋物线的解析式为y=-x2+2x；（6分） 解法一：此时顶点C的坐标为C（1，）如图，作CD⊥AB于D，连接CQ， 则AD=1，CD=，tan∠BAC=， ∴∠BAC=60° 由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形； 由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得， 点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN的平行四边形， C、Q、P三点共线，且PQ=PC；（7分） ∵点P线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合， DC≤PC＜AC，DC=，AC=2， ∴≤PQ＜1；（8分） 解法二：设点P的坐标为P（x，0）（0＜x＜2）如图，作MM1⊥AB于M1，NN1⊥AB于N1 ∵△APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方， ∴AM=AP=x，BN=BP=2-x，∠MAP=60°，∠NBP=60° ∴AM1=AM•cos∠MAB=， MM1=AM•sin∠MAB=， BN1=BN•cos∠NBP=， NN1=BN•sin∠NBP= ∴AN1=AB-BN1= ∴M、N两点的坐标分）别为M（，），N（，） 可得线段MN的中点Q的坐标为Q（，） 由勾股定理得PQ=（7分） ∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2， ∴3≤（x-1）2+3＜4， ∴≤PQ＜1．（8分）