已知二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边...

已知二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），以AB为直径作⊙C，⊙C与y轴正半轴交于D，点P为劣弧 manfen5.com 满分网

上一动点，连接AP、BD两弦相交于点E，连接PB，AD，
（1）求点C的坐标；
（2）若⊙C的半径为3时，求m的值；
（3）请探索当点P运动到什么位置时，使得△ADE与△APB相似，并给予证明．

（1）由于C是圆心，即直径AB的中点，根据圆和抛物线的对称性知，C点即为抛物线对称轴与x轴的交点，根据抛物线的解析式易求得对称轴方程，由此可得C点坐标．（2）已知了⊙C的半径，结合C点坐标，可得到A、B的坐标，即可用待定系数法求得m的值．（3）由圆周角定理知：∠ADE=∠APB=90°，若△ADE与△APB相似，则必有∠DAP=∠PAB，因此只有当P点运动到劣弧BD的中点时，此题的条件才成立．【解析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴为：x=1；由于A、B是抛物线与x轴的交点，且AB是⊙C的直径，由抛物线和圆的对称性知：C（1，0）．（2）若⊙C的半径为3，则A（-2，0），B（4，0）；则抛物线的解析式为：y=-（x+2）（x-4）=-x2+2x+8；故m=8．（3）当P点运动到劣弧BD的中点时，△ADE与△APB相似；证明：如图； ∵P是劣弧BD的中点， ∴∠DAP=∠PAB；又∵AB是⊙C的直径， ∴∠ADE=∠APB=90°， ∴△ADE∽△APB．

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考点分析：

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如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．