如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2...

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB²=AP•AD．
（1）求证：AB=AC；
（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为 manfen5.com 满分网

的中点，求AD的长．

（1）根据AB2=AP•AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边证明结论；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．（1）证明：连接BP， ∵AB2=AP•AD，∴，又∵∠BAD=∠PAB， ∴△ABD∽△APB， ∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；（2）【解析】由（1）知AB=AC， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵P为的中点， ∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°， ∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°， ∴BP为直径， ∴BP过圆心O， ∴BP=2， ∴AP=BP=1， ∴AB2=BP2-AP2=3， ∵AB2=AP•AD， ∴AD==3．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等