已知：如图，点N为△ABC的内心，延长AN交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E...

已知：如图，点N为△ABC的内心，延长AN交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．
（1）求证：EB=EN=EC；
（2）求证：NE²=AE•DE．

点N为△ABC的内心，易证EB=EC，只需证明EB=EN，或EN=EC，可以通过等角对等边得出；欲证NE2=AE•DE，即证BE2=AE•DE，可以通过证明△BED∽△AEB得出．证明：（1）连接BN， ∵点N为△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴∠BCE=∠1， ∴EB=EC． ∵∠5与∠2都是弧EC所对的圆周角， ∴∠5=∠2=∠1． ∴∠4+∠5=∠3+∠1． ∵∠NBE=∠4+∠5，∠BNE=∠3+∠1， ∴∠NBE=∠BNE． ∴EB=EN． ∴EB=EN=EC．（2）由（1）知∠5=∠2=∠1，∠BED=∠AEB， ∴△BED∽△AEB． ∴．即BE2=AE•DE． ∵EB=EN， ∴NE2=AE•DE．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等