如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=...

如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD= manfen5.com 满分网

．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．
（1）用含t的代数式表示QP的长；
（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（3）求出t为何值时，△CMQ为等腰三角形？

（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，在△ABE中，由等腰梯形性质得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示线段PQ；（2）由已知可得BM=2t，CM=4-2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面积了；（3）△CMQ为等腰三角形，有三种可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，针对每一种情况，根据图形特征，线段长度，运用勾股定理解答．【解析】（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，如图，由AD=2，BC=4，AB=CD=，得 AE=2．（1分） ∵ND=t，∴PC=1+t． ∴．即． ∴．（2分）（2）∵点M以每秒2个单位长运动， ∴BM=2t，CM=4-2t．（3分） ∴S△CMQ==．即S=．（4分）（3）①若QM=QC， ∵QP⊥MC， ∴MP=CP．而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，即1+t=3-3t，∴t=．（5分） ②若CQ=CM， ∵CQ2=CP2+PQ2=， ∴CQ=． ∵CM=4-2t， ∴=4-2t． ∴．（6分） ③若MQ=MC， ∵MQ2=MP2+PQ2=， ∴=（4-2t）2，即．解得t=或t=-1（舍去）． ∴t=．（7分） ∴当t的值为，，时， △CMQ为等腰三角形．

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考点分析：

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（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜ manfen5.com 满分网

+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

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如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知， manfen5.com 满分网

，

．
于是有

，

综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有 manfen5.com 满分网

，

这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的两根，求x₁²+x₂²的值．解法可以这样：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，则 manfen5.com 满分网

=（-6）²-2×（-3）=42．
请你根据以上材料解答下列题：
（1）若x²+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，求（x₁-x₂）²的值．

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（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

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（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；
（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平吗？

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试题属性

题型：解答题
难度：中等