如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合...

如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）．点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．
（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是______三角形；
（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是______三角形．

（1）当∠QPA=90°时，由于∠QPO=∠QPA=90°，PQ=PO，则△OPQ是等腰直角三角形，∴∠QOA=45°．又由于OQ⊥CQ，所以∠C=45°，即△PQC是等腰直角三角形；（2）由等边对等角和三角形的外角与内角的关系知，∠C=90°-∠QOC=90°-30°=60°，故△QCP是等边三角形；（3）由于一直存在∠PQC=90°-∠OQP，∠C=90°-∠QOC，而∠QOC=∠OQP，∴∠C=∠PQC．故△QCP一定是等腰三角形．【解析】（1）等腰直角三角形；（2）当∠QPA=60°，△QCP是等边三角形．证明：连接OQ． CQ是⊙O的切线， ∴∠OQC=90°． ∵PQ=PO， ∴∠PQO=∠QOP． ∴∠QOP+∠QCO=90°，∠OQP+∠CQP=90°， ∴∠QCO=∠CQP． ∴PQ=PC．又∠QPA=60°， ∴△QCP是等边三角形；（3）等腰三角形．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等