如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30度．点M、N同时以相...

如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30度．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．
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（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P，根据题意AM=x，易得AN=20-x；在Rt△APN中，根据三角函数的定义可得答案；注意x的取值范围；（2）根据（1）△AMN的面积关系，可得当x=10时，S△AMN有最大值；又有梯形的面积为定值，故可得ND=AM=10，AN=AD-ND=10，进而可得答案．【解析】（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．（1分）由已知，ND=x，AN=20-x． ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°， ∴∠PAN=∠D=30度．在Rt△APN中，PN=ANsin∠PAN=（20-x），即点N到AB的距离为（20-x）．（3分） ∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15， ∴x的取值范围是0≤x≤15．（4分）（2）根据（1）S△AMN=AM•NP=x（20-x）=-x2+5x．（5分） ∵＜0， ∴当x=10时，S△AMN有最大值．（6分）又∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN，且S梯形为定值， ∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．（7分）当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．（8分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等