如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF． （...

根据正方形的性质得到相关的条件找出全等的三角形：△ADE≌△ABC，△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC， △CDF≌△CBF；利用全等的关系求出∠AHD=90°，得到AE⊥DF；同时可判定BM=MC． 【解析】 （1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF． （2）AE⊥DF． 证明：设AE与DF相交于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAF=∠BAF． 又∵AF=AF， ∴△ADF≌△ABF． ∴∠1=∠2． 又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE， ∴△ADE≌△BCE． ∴∠3=∠4． ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠AHD=90°． ∴AE⊥DF． （3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF． ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°． ∴∠3=∠5， ∵∠3=∠4， ∴∠4=∠5． ∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°， ∴△DCM≌△BCE． ∴CE=CM， 又∵E为CD中点，且CD=CB， ∴CE=CD=BC， ∴CM=CB，即M为BC中点， ∴BM=MC．