如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4． P为AB上一点，过P作P...

（1）易知△AOC、△OEF、△AFP均为等腰直角三角形，因此只需求出OF的长就可得出△OEF的面积，在直角三角形AFP中，根据AP=1，可求得AF=，已知了AB、AC的长可求出OA的长，进而可得出OF的长．也就能求出△OEF的面积． （2）①同（1）可用a表示出△OEF的面积，S2=a2，然后根据S1=S2，可得出关于a的方程，即可求出a的值． ②根据①即可得出关于S，a的函数关系式，然后根据函数的性质即可判断出是否存在使S＜的值． 【解析】 （1）∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵AB=AC ∴∠B=∠C=45°，OA⊥BC， ∴∠1=∠B=45°， ∵PE⊥AB ∴∠2=∠1=45° ∴∠4=∠3=45°， 则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形． ∵AP=l，AB=4， ∴AF=，OA=， ∴OE=OF=， ∴△OEF的面积为•OE•OF=1． （2）①∵FP=AP=a， ∴S1=a2 且AF=， ∴OE=OF=2-a=（2-a）， ∴S2=•OE•OF=（2-a）2 ∵S1=S2 ∴a2=（2-a）2 ∴a=4± ∵0＜a＜2 ∴． ②S=S1+S2=a2+（2-a）2=a2-4a+4=（a-）2+， ∴当时，S取得最小值为， ∵， ∴不存在这样实数a，使S＜．