如图，在直角坐标系中，以点P（1，-1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点...

（1）求劣弧AB的长，就要先知道劣弧AB所对的圆心角的度数．过P作AB的垂线设垂足为M，那么在Rt△PMB中，根据圆的半径及P点的纵坐标即可求出∠BPM的度数，也就能求出∠APB的度数．然后根据弧长公式即可求出劣弧AB的长； （2）在Rt△PMB中，根据PB即半径的长以及PM即P点纵坐标的绝对值即可求出BM的长，也就求出了AB的值，由于A、B两点关于直线x=1对称，由此可确定A、B两点的坐标．根据圆和抛物线的对称性，C点必在直线PM上，根据P点的坐标和圆的半径的长即可得出C点的坐标．根据求出的A、B、C三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）根据平行四边形的判定和性质可知：当线段OC与PD互相平分时，四边形OPCD是平行四边形，因此D点在y轴上，且OD=PC=2，因此D点的坐标为（0，-2）然后代入抛物线的解析式中即可判断出D是否在抛物线上． 【解析】 （1）如图，连接PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M， 在Rt△PMB中，PB=2，PM=1， ∴∠MPB=60°， ∴∠APB=120° 的长=； （2）在Rt△PMB中，PB=2，PM=1，则MB=MA=，又OM=1， ∴A（1-，0），B（1+，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上， 则C（1，-3）． 点A、B、C在抛物线上，则 解之得， ∴抛物线解析式为y=x2-2x-2； （3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD， 又PC∥y轴， ∴点D在y轴上， ∴OD=2，即D（0，-2）， 又点D（0，-2）在抛物线y=x2-2x-2上， 故存在点D（0，-2），使线段OC与PD互相平分．