如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M...

（1）欲证明直线CP是⊙O的切线，只需证得CP⊥AC； （2）利用正弦三角函数的定义求得⊙O的直径AC=5，则⊙O的半径为．如图，过点B作BD⊥AC于点D，构建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根据相似三角形的对应边成比例求得线段 BD=4；然后在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了． （1）证明：连接AN， ∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC， ∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC， ∴∠CAN=∠BAN，BN=CN， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠CAN=∠BCP． ∵∠CAN+∠ACN=90°， ∴∠BCP+∠ACN=90°， ∴CP⊥AC ∵OC是⊙O的半径 ∴CP是⊙O的切线； （2）【解析】 ∵∠ANC=90°，sin∠BCP=， ∴=， ∴AC=5， ∴⊙O的半径为 如图，过点B作BD⊥AC于点D． 由（1）得BN=CN=BC=， 在Rt△CAN中，AN==2 在△CAN和△CBD中， ∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD， ∴△CAN∽△CBD， ∴=， ∴BD=4． 在Rt△BCD中，CD==2， ∴AD=AC-CD=5-2=3， ∵BD∥CP， ∴=，= ∴CP=，BP= ∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．