如图，直线与y轴交于A点，过点A的抛物线与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，...

（1）先由y=x+1，求出与y轴交点A的坐标，再将x=3代入y=x+1，求出y的值，得到B点坐标，然后将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求得抛物线的函数解析式； （2）先用含t的代数式表示P、M、N的坐标，再根据MN=NP-MP，即可得到线段MN的长与t的函数关系式为MN=-t2+t（0≤t≤3），然后运用配方法可求出当t=时，MN的长最大，最大值是； （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：-t2+t=，解方程求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可． 【解析】 （1）∵y=x+1， ∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1）， 当x=3时，y=×3+1=2.5，即B点坐标为（3，2.5）， 将A（0，1），B（3，2.5）代入y=-x2+bx+c， 得， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x+1； （2）∵OP=1•t=t， ∴P（t，0），M（t，t+1），N（t，-t2+t+1）， ∴MN=NP-MP=（-t2+t+1）-（t+1）=-t2+t， 即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-t2+t（0≤t≤3）； ∵-t2+t=-（t2-3t）=-（t-）2+， ∴当t=时，MN的长最大，最大值是； （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC， 此时，有-t2+t=， 解得t1=1，t2=2， 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形； 当t=1时，MN=-×12+×1=，MP=×1+1=，PC=3-1=2， 在Rt△MPC中，MC===， 故MN=MC，此时平行四边形BCMN为菱形； 当t=2时，MN=-×22+×2=，MP=×2+1=2，PC=3-2=1， 在Rt△MPC中，MC===， 故MN≠MC，此时平行四边形BCMN不是菱形．