正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥M...

设BM=x，则MC=4-x，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值． 【解析】 设BM=x，则MC=4-x， ∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°， ∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC， ∴△ABM∽△MCN，则=，即=， 解得CN=， ∴S四边形ABCN=×4×[4+]=-x2+2x+8， ∵-＜0， ∴当x=-=-=2时，S四边形ABCN最大． 故答案为：2．