已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点...

（1）连接OD，DF．那么OD⊥AC，则∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论： ①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合． ②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值． （2）本题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围． （3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC的面积-△ADE的面积-△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值． 【解析】 （1）连接OD，DF． ∵AC切⊙O于点D， ∴OD⊥AC． 在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t， ∴OD=OF=t，AD=OA•cosA=． 又∵∠FOD=90°-30°=60°， ∴∠AED=30°，∴AD=ED=． ∵DE⊥EG， ∴∠BEG=60°， △BEG与△DEG相似． ∵∠B=∠GED=90°， ①当∠EGD=30°， CE=2BE=2（6-t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合， DE==AD，CD=12-，BE=6-t， ∵△BEG∽△DEC， ∴=， ∴=， t=； ②当∠EGD=60°． ∴DG⊥BC，DG∥AB． 在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=， ∴DG=t． 在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6， ∴AC=12，AB=6， ∴CD=12-． ∵DG∥AB， ∴解得t=． 答：当t为或时，△BEG与△EGD相似； （2）∵AC切⊙O于点D， ∴OD⊥AC． 在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t， ∴∠AED=30°，∴DE⊥EG， ∴∠BEG=60°． 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6， ∴AB=6，BE=6-t． Rt△BEG中，∠BEG=60°， ∴BG=BE•tan60°=18-t． 当0≤18-t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上； 当18-t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上； （3）过点D作DM⊥AB于M． 在Rt△ADM中，∠A=30°， ∴DM=AD=t． ∴S=S△ABC-S△AED-S△BEG =36-t2-27t =-（t-）2+（＜t＜4）． 所以当t=时，s取得最大值，最大值为．