如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线...

（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值； （2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长； （3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值； （4）根据当D为顶点，OD=OR1=6时，当R2为顶点，OR2=DR2时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可． 【解析】 （1）∵△PMN是等边三角形， ∴∠P1M1N1=60°； ∵在Rt△AOB中， ∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴∠AP10=90°， 在Rt△AP1O中，AP1=AO=2， ∴t=，即t=2； （2）∵△BPH∽△BAO， ∴， ∴PH=， ∵cos30°=， ∴PN===8-t， （3）当0≤t≤1时，S1=S四边形EONG， 作GH⊥OB于H，如图3， ∵∠GNH=60°，GH=2， ∴HN=2，∵PN=NB=8-t， ∴ON=OB-NB， ∴ON=12-（8-t）=4+t， ∴OH=4+t-2=2+t， S1=（2+t+4+t）×2 =2t+6， ∵2＞0， ∴S随t增大而增大， 当t=1时，S最大=8， 当1＜t＜2时，如图4，S2=S五边形IFONG， 作GH⊥OB于H， ∵AP2=t ∴AF=2t， ∴OF=4-2t， ∴EF=2-（4-2t） =2t-2， ∴EI=2t-2， ∴S2=S梯形EONG-S△EFI =2t+6-（2t-2）×（2t-2） =-2t2+6t+4， ∵-2＜0， ∴当t=-=时 S2最大=， 当t=2时，如图5， MP=MN=6， N与D重合， S3=S梯形IMNG， =×36-×4， =8， ∴S=， S最大=， （4）∵△ODR是等腰三角形， ①当D为顶点，OD=OR1=6时， DR1=6-2＞2（不合题意舍去）， 当D为顶点时，R1不存在， 此时R1不存在，使△ODR是等腰三角形， ②当R2为顶点，OR2=DR2时， R2在EC的中点处， ∵AO=4，∠B=30°， ∴BO=12， ∵D为OB中点， ∴DO=EC=6， ∴ER2=3， ∵OB=12，∠B=30°， ∴OP2=6， ∴R2P2=3， ∴ER2=P2R2=3， ∴CP2=3， ∴AP2=4-3=， t2==1， ③当O为等腰三角形顶角的顶点时， CR3=6-2， CP3=××2=6-6， AP3=4-（6-6）， =6-2， ∴t3==2-2＞2（不合题意舍去）． 综上所述：t=1时，△ODR是等腰三角形．