如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（...

（1）解直角三角形，求得点E到AC的距离等于a，这是一个定值； （2）如答图2所示，作辅助线，将四边形MDEN分成一个等边三角形和一个平行四边形，求出其周长； （3）可能存在三种情形，需要分类讨论： ①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示； ②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示； ③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示． 【解析】 （1）由题意得：tanA===， ∴∠A=60°． ∵DE∥AB， ∴∠CDE=∠A=60°． 如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H， 则EH=DE•sin∠CDE=a•=a． ∴点E到AC的距离为一个常数． （2）若AD=，当a=2时，如答图2所示． 设AB与DF、EF分别交于点M、N． ∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°， 由（1）知∠CDE=60°， ∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°， 又∵∠A=60°， ∴△ADM为等边三角形， ∴DM=AD=． 过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°， ∴△DMG为等边三角形， ∴DG=MG=DM=． ∴GE=DE-DG=2-=． ∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE， 又∵DE∥AB， ∴四边形MGEN为平行四边形． ∴NE=MG=，MN=GE=． ∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=． （3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下： ①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示： ∴T=3a； ②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示： 设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G． 与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形． ∴DM=DG=NE=AD=，MN=GE=DE-DG=a-， ∴T=DE+DM+MN+NE=a++（a-）+=2a+； ③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示： 设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q． 在Rt△PCD中，CD=，∠CDP=60°，∠DPC=30°， ∴PC=CD•tan60°=×=． ∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°． 由（1）知，点E到AC的距离为a，∴PQ=a-． ∴QE=PQ•tan30°=（a-）×=a-，PE=2QE=a-． 由②可知，四边形MDEN的周长为2a+． ∴T=四边形MDEN的周长-PE-QE+PQ=（2a+）-（a-）-（a-）+（a-）=a+-． 综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为： T=．