如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD...

首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF． 【解析】 ∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，AG⊥AB， ∴AG∥BC， ∴△AFG∽△CFB， ∴， ∵BA=BC， ∴， 故①正确； ∵∠ABC=90°，BG⊥CD， ∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°， ∴∠DBE=∠BCD， ∵AB=CB，点D是AB的中点， ∴BD=AB=CB， ∵tan∠BCD==， ∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==， ∵=， ∴FG=FB， ∵GE≠BF， ∴点F不是GE的中点． 故②错误； ∵△AFG∽△CFB， ∴AF：CF=AG：BC=1：2， ∴AF=AC， ∵AC=AB， ∴AF=AB， 故③正确； ∵BD=AB，AF=AC， ∴S△ABC=6S△BDF， 故④错误． 故答案为：①③．