已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=...

（1）分别过点A，D作BC边上的高，交BC边于E，F，由于四边形ABCD是等腰梯形，可得出BE=CF=（BC-AD）÷2=1，又由AB=DC=2，根据勾股定理可得点D到BC的距离DF== （2）根据（1）得出的DF的值，可求出BD的长为2，那么三角形BDC是个直角三角形，且∠C=60°，∠DBC=30°，如果QM∥AB，可得出∠PMQ度数也是60°，可先表示出MP的长，然后根据∠PQM的度数表示出PQ，然后根据QP∥DF，得出关于QP，DF，BP，BF的比例关系式，DF的值是定值，可表示出BP，BF，这样就可求出t的值． （3）要分两种情况进行讨论 ①当N在AD上时，关键是求出PQ，可在直角三角形BPQ中，先表示出BP，然后根据∠QBP的度数即可求出PQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式． ②N在AB上时，还是要先求出PQ的值，可先表示出BN，然后在直角三角形BNP中，表示出BP，进而在直角三角形BPQ中，用BP表示出PQ，即可根据三角形的面积公式得出S，t的函数关系式． （4）也要分两种情况进行讨论． 第一种情况，当N在AD上时，①当∠BMQ=90°时，那么M，P重合，于是就有BM+ND+FC=BC，即2t+1=4，即可得出t的值． ②当∠BQM=90°时，可先在直角三角形NDQ中，用ND的长，表示出NQ，然后根据求出的D到BC的距离，即可表示出PQ，这时PQ的第一种表示方法．第二种表示方法是，在直角三角形BMQ中，用BM表示出QM，然后在直角三角形QPM中，表示出PQ，然后可让这两个表示PQ的式子相等，即可得出此时的t的值． 第二种情况，当N在AB上时，此时只有∠BQM=90°，方法同②，也是通过不同的表示PQ的方法来得出t的值，方法同（3）②． 【解析】 （1） （2）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形． BE=CF==1． 直角三角形CFD中，CF=1，CD=2，cos∠C= ∴∠C=60°，DF=． ∴∠ABE=∠C=60° ∵QM∥AB ∴∠QMP=60° ∵BM=t，PF=ND=t，FC=1，BC=4 ∴PM=3-2t，BP=3-t． 直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=3-2t，QP=（3-2t）． ∵QP⊥BC，DF⊥BC ∴QP∥DF， ∴△BQP∽△BDF， ∴=，即= ∴5t=6，即t=1.2（s） 当t=1.2s时，QM∥AB （3）当0＜t≤2时，三角形BDF中，BF=3，DF=， ∴BD=2 三角形BCD中，CD=2，BD=2，BC=4， 因此BD2+CD2=BC2， 即三角形BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∠DBC=30°． 直角三角形BQP中，BP=3-t，∠DBC=30°， ∴PQ=（3-t） 因此：S=×t×（3-t）=-t2+t 当2＜t＜4时，直角三角形NBP中，∠ABC=60°，BN=4-t， ∴BP=． 在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=， ∴QP= 因此：S=×t×=-t2+t （4）当0＜t≤2时，即N在AD上时，分两种情况进行讨论： ①当∠BMQ=90°，即M与P点重合，那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4 解得：t=1.5s． ②当∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°， ∴NQ=t． ∵NP= ∴QP=-t 在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t ∴QM=t 在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM=t ∴QP=t ∴-t=t． 解得t=s． 当2＜t＜4时，∠BQM=90° 直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°， ∴BP=， ∴PM=BM-BP=t-= 在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP= ∴PQ= 直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM= ∴PQ= 因此=， 解得t=1.6s，与此时t的取值范围不符， 因此这种情况不成立． 综上所述，当t=1.5s或s，△BMQ是直角三角形．