如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上． （1...

（1）根据已知条件“在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC”以及等腰直角三角形的性质来判定△ABM≌△CAN（AAS）；然后根据全等三角形的对应边相等求得BM=CN； （2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2． （1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM． 即得∠AMB=∠ANC．（1分） 在△ABM和△CAN中， ∴△ABM≌△CAN（AAS）．（2分） ∴BM=CN．（1分） 另证：过点A作AD⊥BC，垂足为点D． ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．（1分） 同理，证得MD=ND．（1分） ∴BD-MD=CD-ND． 即得BM=CN．（2分） （2）MN2=BM2+NC2成立． 证明：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN． ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．（1分） 在△ABM和△ACE中， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．（2分） ∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°． 于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．（1分） 在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN=EN．（1分） 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2． 即得MN2=BM2+NC2．（1分） 另证：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM绕点A逆时针旋转90°后，AB与AC重合，设点M的对应点是点E． 于是，由图形旋转的性质，得AM=AE，∠BAM=∠CAE．（3分） 以下证明同上．