如图，在梯形ABCD中，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，点O为B...

（1）过点A作AE⊥BC，根据cosB==求出BE=3，由勾股定理求出AE即可； （2）过点O作OH⊥AB于H，BH=HP，根据cosB=求出BH=，根据垂径定理求出BP=2BH，代入求出即可； （3））①设⊙O的半径为r，当∠MON=∠POB时，有∠BOH=∠MON，此时tan∠BOH=tan∠MON，得出=，求出即可； ②过P作PQ⊥OB于Q，设BO=OP=r，根据cosB===，求出BH=r，由勾股定理求出OH=r，求出BP=2BH=r，BQ=BP=r，PQ=BP=r，根据tan∠MON=tan∠BOP得出=，求出方程的解即可． 【解析】 （1）过点A作AE⊥BC， ∵在Rt△ABE中，由AB=5，cosB==， ∴BE=3，由勾股定理得：AE=4， ∵CD⊥BC，AE⊥BC， ∴CD∥AE， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是矩形， ∴CD=AE=4． （2）∵CD⊥BC，BC=6， ∴AD=EC=BC-BE=3， 当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB于H， 则BH=HP， ∵cosB=， ∴BH=3×=， ∵OH⊥BP，OH过O， ∴BP=2BH=； （3）①设⊙O的半径为r， ∵OH⊥BA，PO=OB， ∴∠BOH=∠BOP， 当∠MON=∠POB时，有∠BOH=∠MON， 此时tan∠BOH=tan∠MON， ∴=， ∴r=， 即⊙O的半径为； ②过P作PQ⊥OB于Q， 设BO=OP=r， ∵cosB===， ∴BH=OB=r，由勾股定理得：OH=r， ∴BP=2BH=r， ∴BQ=BP=r，由勾股定理得：PQ=BP=r， ∵∠MON=∠BOP， ∴tan∠MON=tan∠BOP， ∴=， ∴=， r=0（舍去），r=， 即⊙O的半径为．