如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平...

猜想与证明： 把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=； 探究与证明： （1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论； （2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论； 联想与拓展： 由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值． 【解析】 猜想与证明： 当m=1时，1=x2，1=x2， ∴x=±2，x=±3， ∴AB=4，CD=6， ∴； 当m=2时，4=x2，4=x2， ∴x=±4，x=±6， ∴AB=8，CD=12， ∴； 当m=3时，9=x2，9=x2， ∴x=±6，x=±9， ∴AB=12，CD=18， ∴； ∴填表为 m 1 2 3        对任意m（m＞0）均有=． 理由：将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±2m， ∴A（-2m，m2），B（2m，m2）， ∴AB=4m． 将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±3m， ∴C（-3m，m2），D（3m，m2）， ∴CD=6m． ∴， ∴对任意m（m＞0）均有=； 探究与运用： （1）∵O、Q关于直线CD对称， ∴PQ=OP． ∵CD∥x轴， ∴∠DPQ=∠DPO=90°． ∴△AOB与△CQD的高相等． ∵=， ∴AB=CD． ∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ， ∴=， （2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3， ∴PO=PB=m2，AB=2OP ∴m2=m4， ∴4m2=m4， ∴m1=0，m2=-2，m3=2． ∵m＞0， ∴m=2， ∴OP=4，AB=8， ∴PD=6，CD=12． ∴S△AOB==16 ∴S△CQD==24， ∴S△CQD-S△AOB=24-16=8． 当△CQD是等腰直角三角形时，如图4， ∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP ∴m2=m4， ∴9m2=m4， ∴m1=0，m2=-3，m3=3． ∵m＞0， ∴m=3， ∴OP=6，AB=12， ∴PQ=9，CD=18． ∴S△AOB==54 ∴S△CQD==81， ∴S△CQD-S△AOB=81-54=27； 联想与拓展 由猜想与证明可以得知A（-2m，m2），D（3m，m2）， ∵AE∥y轴，DF∥y轴， ∴E点的横坐标为-2m，F点的横坐标为3m， ∴y=（-2m）2，y=（3m）2， ∴y=m2，y=m2， ∴E（-2m，m2），F（3m，m2）， ∴AE=m2-m2=m2，DF=m2-m2=m2． S△AEM=×m2•2m=m3， S△DFM=m2•3m=m3． ∴=． 故答案为：；；．