如图，在直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴交于A（x1，0），B（x2，...

（1）连接PC，则PC⊥y轴，过点P作PE⊥AB于点E，分别求出A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）利用轴对称求最短路径的知识，可得连接BC，BC与对称轴的交点即是点Q的位置，求出点Q的坐标即可； （3）经过点M且与BC平行的直线，当这条直线与抛物线相切时，点M到BC的距离最大，即此时△MBC的面积最大，求出点M的坐标即可． 【解析】 （1）连接PC， ∵⊙P与y轴相切于点C ∴PC⊥y轴， 过点P作PE⊥AB于点E， x1，x2是方程x2-10x+16=0的两个根， 解得：x1=2，x2=8， 即点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0）， ∵PE⊥AB， ∴AE=BE， ∴AE=3，BE=3， ∴OE=5，PC=PA=5， 在Rt△APE中，PE==4， 故可得点C的坐标为（0，-4）， 过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8）， 将点C（0，-4）代入可得：-4=a（0-2）（0-8）， 解得：a=-， 故抛物线解析式为y=-（x-2）（x-8）=-x2+x-4． （2）存在． 连接BC，则BC与对称轴交点即是点Q的位置， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 将点B、C的坐标代入可得：， 解得：， 故直线BC的解析式为y=x-4， 抛物线的对称轴为x=-=5， 将x=5代入直线BC解析式可得：y=-， 故点Q的坐标为（5，-）． （3）设平行BC且经过点M的直线解析式为y=x+m， 联立直线与抛物线可得：x+m=-x2+x-4，即-x2+2x-4-m=0， △=4-4×（-）×（-4-m）=0， 解得：m=0， 则-x2+2x-4-m=0，可化为：-x2+2x-4=0， 解得：x=4， 将x=4代入直线解析式可得：y=2， 故点Q的坐标为（4，2）．