在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B...

（1）直接运用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c就可以求出解析式，然后化为顶点式就可以求出顶点坐标； （2）根据两平行线间的距离相等就可以得出△BCF与△BCE的高与底相等； （3）根据平移可以得出对称轴不变为x=1，就可以求出b的值为2，可以设抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）．可以分别表示出P、Q的坐标，求出OP、DQ的值，当y=0时可以求出x的值，表示出M、N坐标及MN的长度， 过点Q作QG∥PN与x轴交于点G，连接NG，可以得出S△MNP=S△PNG．由条件得出Rt△QDG∽Rt△PON，由相似三角形的性质就可以求出c的值，从而求出P、N的坐标，再由待定系数法就可以求出直线PN的解析式． 【解析】 （1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c的得 ， 解得： ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， 即y=-（x-1）2+4． ∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）； （2）∵EF∥BC， ∴△BCF与△BCE的BC边上的高相等， S△BCF=S△BCE． （3）将抛物线向下平移，则顶点Q在对称轴x=1上， ∴-=1， ∴-=1， ∴b=2， 设抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）． ∴此时，抛物线与y轴的交点为P（0，c），顶点为Q（1，1+c）． ∴OP=c，DQ=1+c． ∵y=0时 ∴-x2+2x+c=0， ∴，， ∴，． 如图，过点Q作QG∥PN与x轴交于点G，连接NG，则S△PNG=S△PNQ． ∵S△NPQ=S△MNP， ∴S△MNP=S△PNG． ∴． 设对称轴x=1与x轴交于点D， ∴． ∵QG∥PN， ∴∠PND=∠QGD． ∴Rt△QDG∽Rt△PON． ∴． ∴．  ． ∴点，． 设直线PN的解析式为y=mx+n，将P，N两点代入，得 ， 解得： ∴直线PN的解析式为 ． 故答案为：△BCF与△BCE．