将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点...

（1）根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长，进而得出AE，EO的长即可得出答案； （2）利用平行线的性质以及等角对等边得出答案即可； （3）根据H点坐标得出各边长度，进而利用勾股定理求出m与n的关系即可； （4）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE进而得出AT=DT．设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，求出即可． （1）【解析】 ∵将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，点O落在AB边上的点D处， ∴OC=DC=10， ∵BC=8， ∴BD==6， ∴AD=10-6=4， 设AE=x，则EO=8-x， ∴x2+42=（8-x）2， 解得：x=3， ∴AE=3， 则EO=8-3=5， ∴点E的坐标为：（0，5）；  （2）证明：（如图②）由题意可知∠1=∠2． ∵EG∥x轴， ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3． ∴EH=CH． （3）【解析】 过点H作HW⊥OC于点W， ∵在（2）的条件下，设H（m，n）， ∴EH=HC=m，WC=10-m，HW=n， ∴HW2+WC2=HC2， ∴n2+（10-m）2=m2， ∴m与n之间的关系式为：； （4）【解析】 （如图③）连接ET， 由题意可知，ED=EO，ED⊥TC，DC=OC=10， ∵E是AO中点，∴AE=EO． ∴AE=ED． ∵在Rt△ATE和Rt△DTE中， ∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL）． ∴AT=DT． 设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x， 在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2， 即（10-x）2+102=（10+x）2， 解得 x=2.5， 即AT=2.5． 故答案为：（0，5）；．