有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AM...

（1）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小． （2）根据旋转的性质得出结论． （3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出：，解得A2A的大小． 【解析】 （1）BD=MF，BD⊥MF．（1分） 延长FM交BD于点N， 由题意得：△BAD≌△MAF． ∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．（2分） 又∵∠DMN=∠AMF， ∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°， ∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．（3分） （2）当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°， 则∠BAB1=180°-∠B1AD1-∠KAF=180°-90°-30°=60°， 即β=60°； ②当AF=FK时，∠FAK==75°， ∴∠BAB1=90°-∠FAK=15°， 即β=15°； ∴β的度数为60°或15°（答对一个得2分）（7分） （3）由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x（如图3）， 在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=8， ∴A2M2=4，A2F2=4，∴AF2=4-x． ∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°， ∴AP=AF2•tan30°=4-x． ∴PD=AD-AP=4-4+x． ∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B． ∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．（9分） ∴．（10分） ∴，解得x=6-2．（11分） 即A2A=6-2． 答：平移的距离是（6-2）cm．（12分）