如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径...

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10， manfen5.com 满分网

，

．求：
（1）⊙A的半径AD的长；
（2）∠EGC的余切值．

（1）由在⊙A中，AF⊥DE，DE=10，由垂径定理可求得DF的长，又由cos∠DAF==，利用勾股定理即可求得AD的长；（2）由AB=AC，AD=AE，易证得△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得FG的长，继而求得∠EGC的余切值．【解析】（1）在⊙A中， ∵AF⊥DE，DE=10， ∴DF=EF=DE=×10=5． …（1分）在Rt△ADF中，由cos∠DAF==，设AF=12k，AD=13k．…（1分）利用勾股定理，得AF2+DF2=AD2． ∴（12k）2+52=（13k）2．解得：k=1．…（1分） ∴AD=13． …（1分）（2）由（1），可知F=12k=12．…（1分） ∵=， ∴=．…（1分）在⊙A中，AD=AE．又∵AB=AC， ∴． ∴DE∥BC．…（1分） ∴△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG， ∵AF⊥DE， ∴AG⊥BC， ∴=． ∴AG=36． ∴AF=12， ∴FG=AG-AF=24．…（1分）在Rt△EFG中，cot∠FEG==．…（1分）即得cot∠EGC=．…（1分）

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