小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF均为等腰直角三角形，各...

（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解； （2）首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解； （3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解． 【解析】 （1）A1（2-，1+），B1（2+，1+）． A1C和DF的位置关系是平行． （2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF， ∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得： ， 解得 ∴y=x2-12x+； ②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得： ， 解得 ∴y=x2-11x+； ③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得： ， 解得 ∴y=x2-13x+． （3）在旋转过程中，可能有以下情形： ①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示： 易求得点P坐标为（0，）； ②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示： 设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2． 易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b， 联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即x2-x-b=0， ∴x1+x2=1，x1x2=-b． ∵B′C′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=， ∴（x1-x2）2=，即（x1+x2）2-4x1x2= ∴1+4b=，解得b=． ∴x2-x+=0，解得x=或x=． ∵点C′的横坐标较小，∴x=． 当x=时，y=x2=， ∴P（，）； ③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示： 设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2． 易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y=-x+b， 联立y=x2与y=-x+b得：x2=-x+b，即x2+x-b=0， ∴x1+x2=-1，x1x2=-b． ∵C′A′=1，∴根据题意易得：|x1-x2|=， ∴（x1-x2）2=，即（x1+x2）2-4x1x2= ∴1+4b=，解得b=． ∴x2+x+=0，解得x=或x=． ∵点C′的横坐标较大，∴x=． 当x=时，y=x2=， ∴P（，）； ④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上． 因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在； ⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示： 与③同理，可求得：P（，）； ⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示： 与②同理，可求得：P（，）． 综上所述，点P的坐标为：（0，），（，），（，），（，）．