如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED...

求出△AEB≌△APD，推出∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=135°，求出EP，过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD， 求出BE=，由勾股定理求出BF=EF=，求出S△APB+SAPD=+，S△DPB=×DP×BE=，即可求出答案． 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AE⊥AP，AE=AP=1， ∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAF=∠BAD=90°， ∵∠BAP=∠BAP， ∴∠EAB=∠PAD， ∵在△EAB和△PAD中 ∴△EAB≌△PAD（SAS）， ∴∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°， ∴∠PEB=135°-45°=90°， 即△BEP是直角三角形， ∵AE=AP=1， ∴由勾股定理得：EP==BE=DP==， 过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD， 则∠PEB=180°-135°=45°， ∴∠EBF=45°=∠FEB， ∴EF=BF， ∵BE=， ∴由勾股定理得：BF=EF=， ∴S△APB+S△APD=S△APB+S△AEB=S四边形AEBP=S△AEF+S△PEB=×1×1+××=+， ∵S△DPB=×DP×BE=××=， ∴S正方形ABCD=2S△ABD=2（S△BPD+S△APD+S△APB）=2×（++）=4+， 故答案为：4+．