如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点...

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F，
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF，FH的长．

（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．【解析】（1）DF与⊙O相切．理由如下：连接OD． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵OD=OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴∠DOB=60°， ∴∠DOB=∠C=60°， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴DO⊥DF， ∴DF与⊙O相切；（2）连接CD． ∵CB是⊙O直径， ∴DC⊥AB．又∵AC=CB=AB， ∴D是AB中点， ∴AD=．在直角三角形ADF中， ∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°， ∴， ∴FC=AC-AF=8-2=6． ∵FH⊥BC， ∴∠FHC=90°． ∵∠C=60°， ∴∠HFC=30°， ∴， ∴FH==3．

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考点分析：

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试题属性

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