抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点...

（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可； （2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案； （3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解． 【解析】 （1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m-1） ∴顶点坐标为（-2，m-1） ∵顶点在直线y=x+3上， ∴-2+3=m-1， 得m=2； （2）过点F作FC⊥NB于点C， ∵点N在抛物线上， ∴点N的纵坐标为：a2+a+2， 即点N（a，a2+a+2） 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB-CB=a2+a， ∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2， =（a2+a）2+（a2+4a）+4， 而NB2=（a2+a+2）2， =（a2+a）2+（a2+4a）+4 ∴NF2=NB2， NF=NB； （3）连接AF、BF， 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA， ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴， ∴MA∥NB， ∴∠AMF+∠BNF=180° ∵△MAF和△NFB的内角总和为360°， ∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°， ∵∠MAB+∠NBA=180°， ∴∠FBA+∠FAB=90°， 又∵∠FAB+∠MAF=90°， ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA， 又∵∠FPA=∠BPF， ∴△PFA∽△PBF， ∴=，PF2=PA×PB=， 过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中， PG==， ∴PO=PG+GO=， ∴P（-，0） 设直线PF：y=kx+b，把点F（-2，2）、点P（-，0）代入y=kx+b， 解得k=，b=， ∴直线PF：y=x+， 解方程x2+x+2=x+， 得x=-3或x=2（不合题意，舍去）， 当x=-3时，y=， ∴M（-3，）．