已知抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0...

已知抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点，（x₁＜x₂）且x₁x₂+x₁+x₂=4，M为顶点．
（1）试确定m的值；
（2）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，其中A（-1，-5），连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

（1）用m表示出二次函数两个根的和、积，代入等式x1x2+x1+x2=4，并结合△=（3-m）2-4m（m2+m）＞0，解出即可；（2）由抛物线的解析式得出顶点坐标，利用A，M坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，点P（a，b），根据题意得，Q点坐标为（2a，0），由直线的解析式得，点R的坐标为（2a，6a-2），过点P作PN⊥RQ于点N，则RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以，S=RQ•PN=|6a-2||a|，分类讨论解答出即可．【解析】（1）因为抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点（x1＜x2）且x1x2+x1+x2=4， ∴m≠0 ∵x1+x2=，x1x2=，且△=（3-m）2-4m（m2+m）＞0，又∵x1x2+x1+x2=4， ∴+=4，解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去， ∴m=-1；（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+4x， ∴顶点M的坐标为（2，4），如图，设直线AM的解析式为y=kx+b， ∵A（-1，-5），则有，解得， ∴y=3x-2，依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点， ∴0＜a≤2， ∴Q点坐标为（2a，0），由（2）知直线AM为y=3x-2， ∴当x=2a时，y=6a-2， ∴点R的坐标为（2a，6a-2），过点P作PN⊥RQ于点N， ∵RQ=|6a-2|，PN=|a|， ∴S=RQ•PN=|6a-2|•|a|，当0＜a＜时，S=（2-6a）•a=-3a2+a，当a=时，△PQR不存在；当＜a≤2时，S=（6a-2）•a=3a2-a．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等