已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线...

（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF=∠2，FA=FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5=∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD； （2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG=∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：==．即==． 设GF=2a（a＞0），AG=3a，则GD=a，FD=a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得=，则==．设EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，又由FQ∥ED，易证得==，所以FM=FN． （1）证明：如图1，连接FE、FC． ∵点F在线段EC的垂直平分线上， ∴FE=FC， ∴∠1=∠2． ∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C）， ∴AB=CB，∠4=∠3， ∵在△ABF与△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠BAF=∠2，FA=FC， ∴FE=FA，∠1=∠BAF， ∴∠5=∠6． ∵∠1+∠BEF=180°， ∴∠BAF+∠BEF=180° ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°， ∴∠AFE+∠ABE=180°． 又∵∠AFE+∠5+∠6=180°， ∴∠5+∠6=∠3+∠4， ∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD； （2）FM=FN．理由如下： 如图2，由（1）知，∠EAF=∠ABD． 又∵∠AFB=∠GFA， ∴△AFG∽△BFA， ∴∠AGF=∠BAF． 又∵∠MBF=∠BAF， ∴∠MBF=∠AGF． ∵∠AGF=∠MBG+∠BMG， ∴∠MBG=∠BMG， ∴BG=MG． ∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF． 又∵∠FGA=∠AGD， ∴△AGF∽△DGA， ∴==． ∵AF=AD， ∴==． 设GF=2a（a＞0），AG=3a， ∴GD=a， ∴FD=a ∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB， ∴∠CBD=∠ADB， ∴BE∥AD， ∴=， ∴==． 设EG=2k（k＞0）， ∴BG=MG=3k． 如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===， ∴GQ=QE， ∴GQ=EG=k，MQ=3k+k=k． ∵FQ∥ED， ∴==， ∴FM=FN．