在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且...

在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
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（1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考； ②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考．（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，连接CD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．在△AND与△CDM中， ∴△AND≌△CDM（ASA）， ∴DM=DN． ∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，在△NED与△DFM中， ∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF． ∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．（2）①答：AE=DF．证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD， ∴，即MF•EN=DE•DF．同理△AEN∽△MFB， ∴，即MF•EN=AE•BF． ∴DE•DF=AE•BF， ∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF）， ∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． ∵D为AB中点， ∴DQ=PC=PB．易证△DMF∽△NDE，∴，易证△DMP∽△DNQ，∴， ∴；易证△AEN∽△DPB，∴， ∴，∴AE=DF． ②答：DF=kAE．证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF， ∴（AE-AD）•DF=AE•（DF-BD） ∴AD•DF=AE•BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE．证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．易证△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．由①同理可得：， ∴；又∵， ∴， ∴DF=kAE．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等