如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60...

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC的度数；（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．【解析】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC， ∵∠ABC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的长为．

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考点分析：

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；
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试题属性

题型：解答题
难度：中等