如图，已知抛物线y=-x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若...

（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程； （2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB； （4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． 【解析】 （1）∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A（-2，0）， ∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0， 解得：b=， ∴抛物线解析式为 y=-x2+x+4， 又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+， ∴对称轴方程为：x=3． （2）在y=-x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）； 令y=0，即-x2+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2， ∴A（-2，0），B（8，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得： ， 解得k=，b=4， ∴直线BC的解析式为：y=x+4． （3）可判定△AOC∽△COB成立． 理由如下：在△AOC与△COB中， ∵OA=2，OC=4，OB=8， ∴， 又∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB． （4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q（3，t），则可求得： AC===， AQ==， CQ==． i）当AQ=CQ时， 有=， 25+t2=t2-8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）； ii）当AC=AQ时， 有=， t2=-5，此方程无实数根， ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； iii）当AC=CQ时， 有=， 整理得：t2-8t+5=0， 解得：t=4±， ∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）． 综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．