如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、...

（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5； （2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以=，可解得OC=，则C点坐标为（-，0），最后运用待定系数法确定l的解析式； （3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8-ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，则BN=10-=，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可． 【解析】 （1）∵∠AOB=90°， ∴AB为⊙M的直径， ∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴AB==10， ∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）； （2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图， ∵BC与⊙M相切，AB为直径， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠CBO+∠ABO=90°， 而∠BAO=∠ABO=90°， ∴∠BAO=∠CBO， ∴Rt△ABO∽Rt△BCO， ∴=，即=，解得OC=， ∴C点坐标为（-，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（0，6）、C点（-，0）分别代入， 解得， ∴直线l的解析式为y=x+6； （3）作ND⊥x轴，连结AE，如图， ∵∠BOA的平分线交AB于点N， ∴△NOD为等腰直角三角形， ∴ND=OD， ∴ND∥OB， ∴△ADN∽△AOB， ∴ND：OB=AD：AO， ∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=， ∴OD=，ON=ND=， ∴N点坐标为（，）； ∵△ADN∽△AOB， ∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=， ∴BN=10-=， ∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE， ∴△BON∽△EAN， ∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=， ∴OE=ON+NE=+=7．