如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个...

（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由A到B的过程中，利用方程即可求得； （2）分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值； （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t-3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解． 【解析】 （1）在直角△ABC中，AC==4， 则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5． 根据题意得：（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，解得：t=7． （2）Q从C到A的时间是2秒，P从B到C的时间是3秒． 则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3-t=2t，解得：t=1． 当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC， 在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=AQ=． ∵PC=BC-BP=3-t， ∴（2t-4）=（3-t）， 解得：t=； （3）连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F， 则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积． 在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，即AQ=5-（2t-9）=14-2t． 同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14-2t）， 故s=（t-3）×（14-2t）=（-t2+10t-21）． 故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）． ∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， ∴PD一定是AC的中垂线． 则AP=AC=2，PD=BC=， AQ=14-2t=14-2×5=4． 则PC边上的高是：AQ=×4=． ∵∠COF=∠CDP=∠B， 所以，tan∠COF=，设OF为x， 则利用三角函数得CF=，PF=2-， 则QE=，AE=， ∴PE=， ∵△POF∽△PQE， ∴=， 解得：x=， S△PCO=×2×=．