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如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发...

如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2manfen5.com 满分网cm/s的速度,沿A→C的路线向点C运动.当P、Q到达终点C时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.
(1)在点P、Q运动过程中,请判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N.
①当t为何值时,点P、M、N在一直线上?
②当点P、M、N不在一直线上时,是否存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.

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(1)此问需分两种情况,当0<t≤5及5<t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC. (2)①由于点P、M、N在一直线上,则AQ+QM=AM,代入求得t的值. ②假设存在这样的t,使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形,但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论. 【解析】 (1)若0<t≤5,则AP=4t,AQ=2t. 则==, 又∵AO=10,AB=20,∴==. ∴=.又∠CAB=30°,∴△APQ∽△ABO. ∴∠AQP=90°,即PQ⊥AC. 当5<t≤10时,同理,可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°,即PQ⊥AC. ∴在点P、Q运动过程中,始终有PQ⊥AC. (2)①如图,在Rt△APM中,∵∠PAM=30°,AP=4t, ∴AM=. 在△APQ中,∠AQP=90°, ∴AQ=AP•cos30°=2t, ∴QM=AC-2AQ=20-4t. 由AQ+QM=AM得:2t+20-4t=, 解得t=. ∴当t=时,点P、M、N在一直线上. ②存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形. 设l交AC于H. 如图1,当点N在AD上时,若PN⊥MN,则∠NMH=30°. ∴MH=2NH.得20-4t-=2×,解得t=2. 如图2,当点N在CD上时,若PM⊥PN,则∠HMP=30°. ∴MH=2PH,同理可得t=. 故当t=2或时,存在以PN为一直角边的直角三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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