已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．...

（1）利用顶点式写出二次函数解析式，进而得出a的值，得出解析式即可； （2）首先得出△AOB∽△CDA，进而得出y与x之间的函数关系，即可得出点C的坐标，根据PH=（OB+CD）求出P点坐标即可； （3）首先设点N的坐标为（t，-t2+t-1），得出，求出直线BC的解析式，进而表示出M点坐标，即可得出△BCN与t的函数关系式，求出最值即可． 【解析】 （1）∵抛物线的顶点是A（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． 由抛物线过B（0，-1）得：4a=-1， ∴， ∴抛物线的解析式为． 即． （2）如图1，设C的坐标为（x，y）． ∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°． 作CD⊥x轴于D，连接AB、AC． ∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠CAD， ∵∠BOA=∠ADC=90°， ∴△AOB∽△CDA， ∴ ∴OB•CD=OA•AD． 即1•|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4． ∵点C在第四象限． ∴y=-2x+4， 由， 解得，． ∵点C在对称轴右侧的抛物线上． ∴点C的坐标为 （10，-16）， ∵P为圆心，∴P为BC中点． 取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线． ∴PH=（OB+CD）=． ∵D（10，0）∴H（5，0） ∴P （5，-）． 故点P坐标为（5，-）． （3）如图2，设点N的坐标为（t，-t2+t-1），直线x=t（0＜t＜10）与直线BC交于点M． ，， 所以， 设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B（0，-1）、C （10，-16）， 所以成立， 解得：， 所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为（t，-t-1）， MN==， ， = =， 所以，当t=5时，S△BCN有最大值，最大值是．