等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP...

（1）由已知条件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，从而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出结论． （2）①由已知条件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出，由已知条件可以建立方程求出BP的值． ②四边形AMPN的面积就是四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，由△ADM≌△APN，S△ADM=S△APN，可以得出重合部分的面积就是△ADP的面积． ③连接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，设BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=t，从而求得t的值，即可以求出结论．以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形，由已知条件可知四边形ADPE为菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根据∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．设AO=a，则AD=AE=2a，OD=a，得到DG=（-1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3-）a，HE=2（-1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出结论． 【解析】 （1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形， ∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°， ∴∠DAM=∠PAN． 在△ADM和△APN中， ∵， ∴△ADM≌△APN， ∴AM=AN． （2）①∵△ABC、△ADP是等边三角形， ∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°， ∴∠DAM=∠PAC， ∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP， ∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP， ∴∠DAM=∠BPM， ∴∠BPM=∠NAP， ∴△BPM∽△CAP， ∴， ∵BM=，AC=2，CP=2-x， ∴4x2-8x+3=0， 解得x1=，x2=． ②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积． ∵△ADM≌△APN， ∴S△ADM=S△APN， ∴S四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP． 过点P作PS⊥AB，垂足为S， 在Rt△BPS中，∵∠B=60°，BP=x， PS=BPsin60°=x，BS=BPcos60°=x， ∵AB=2， ∴AS=AB-BS=2-x， ∴AP2=AS2+PS2==x2-2x+4． 取AP的中点T，连接DT，在等边三角形ADP中，DT⊥AP， ∴S△ADP=AP．DT=AP×=， ∴S=S四边形AMPN=S△ADP==（0＜x＜2）， ∴当x=1时，S的最小值是． ③连接PG，若∠DAB=15°， ∵∠DAP=60°， ∴∠PAG=45°． ∵△APD和△APE是等边三角形， ∴四边形ADPE是菱形， ∴DO垂直平分AP， ∴GP=AG， ∴∠PAG=∠APG=45°， ∴∠PGA=90°． 设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°， ∴BP=2t，PG=t， ∴AG=PG=t， ∴t+t=2， 解得t=-1， ∴BP=2t=2-2． ∴当BP=2-2时，∠BAD=15°． 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形． 设DE交AP于点O， ∵△APD和△APE是等边三角形， ∴AD=DP=AP=PE=EA， ∴四边形ADPE为菱形， ∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°． ∵∠DAB=15°， ∴∠GAO=45°， ∴∠AGO=45°，∠HAO=15°， ∴∠EAH=45°． 设AO=a，则AD=AE=2a，GO=AO=a，OD=a． ∴DG=DO-GO=（-1）a． ∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°， ∴∠DHA=∠DAH=75°． ∴DH=AD=2a， ∴GH=DH-DG=2a-（-1）a=（3-）a． HE=DE-DH=2DO-DH=2a-2a． ∵DG2+GH2=， HE2==． ∴DG2+GH2=HE2， ∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．