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某河道上有一个半圆形的拱桥,河两岸筑有拦水堤坝.其半圆形桥洞的横截面如图所示.已...

某河道上有一个半圆形的拱桥,河两岸筑有拦水堤坝.其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切,上、下桥斜面的坡度i=1:3.7,桥下水深=5米.水面宽度CD=24米.设半圆的圆心为O,直径AB在坡角顶点M、N的连线上.求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长.(参考数据:π≈3,manfen5.com 满分网≈1.7,tan15°=manfen5.com 满分网
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首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME++FN,连接如图,把实际问题转化为直角三角形问题,由已知求出OD即半径,再由坡度i=1:3.7和tan15°==1:3.7,得出∠M=∠N=15°,因此能求出ME和FN,所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°,则得出所对的圆心角∠EOF,相继求出弧EF的长,从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长. 【解析】 连接FO、EO、DO, 已知CD=24,0P=5,∴PD=12, ∴OD2=OP2+PD2=52+122=169, ∴OD=13,则OE=OF=13, 已知坡度i=1:3.7和tan15°==1:3.7, ∴∠M=∠N=15°, ∴cot15°==2+, ∵上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切, ∴tan∠M=, ∴ME=FN==13×(2+)=26+13, ∠EOM=∠FON=90°-15°=75°, ∴∠EOF=180°-75°-75°=30°, ∴==π, ∴ME++FN=26+13+π+26+13≈102.7. 答:从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长为102.7米.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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