如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1...

延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可． 【解析】 延长AO交BC于D， 连接OB， ∵⊙O过B、C， ∴O在BC的垂直平分线上， ∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部， ∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADB=90°，∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=3， ∴OD=3-1=2， 由勾股定理得：OB==． 故选C．