如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，...

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO． ∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC（三线合一），又四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BE， ∴∠AOE=90°，即△AOE是直角三角形， ∴∠AED+∠EAO=90° ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO=60°， ∴∠AED=30° ∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°， ∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45° ∵四边形ABCD是菱形． ∴∠BAD=2∠DAO=90° ∴平行四边形ABCD是正方形．

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考点分析：

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