如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与C...

（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值； （3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围． （1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°， ∴∠QAB=∠PAD， 又∵∠ABQ=∠ADP=90°， ∴△ADP∽△ABQ． （2）【解析】 ∵△ADP∽△ABQ， ∴，即，解得QB=2x． ∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD-DP=20-x． 如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N， ∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线， ∴MN=PC=（20-x）=10-x， BN=QC-BC=（BC+QB）-BC=（10+2x）-10=x-5． 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10-x）2+（x-5）2=x2-20x+125， ∴y=x2-20x+125（0＜x＜20）． ∵y=x2-20x+125=（x-8）2+45， ∴当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为=． （3）【解析】 设PQ与AB交于点E． 如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN． ∵△ADP∽△ABQ， ∴，即，解得QB=a． ∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP， ∴，即，解得BE=． ∵MN为中位线，∴MN=PC=（a-8）． ∵BE＞MN，∴＞（a-8），解得a＞12.5． ∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5．