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如图(1),Rt△AOB中,manfen5.com 满分网,∠AOB的平分线OC交AB于C,过O点做与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动,当点P到达点O时P、Q同时停止运动.
(1)求OC、BC的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)当P在OC上Q在ON上运动时,如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,△OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.
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(1)求出∠B,根据直角三角形性质求出OA,求出AB,在△AOC中,根据勾股定理得出关于OC的方程,求出OC即可; (2)有四种情况:①当P在BC上,Q在OC上时,t<2,过P作PH⊥OC于H,求出PH,根据三角形的面积公式求出即可;②当t=2时,P在C点,Q在O点,此时,△CPQ不存在;③当P在OC上,Q在ON上时,过P作PG⊥ON于G,过C作CZ⊥ON于Z,求出CZ和PG的值,求出△OCQ和△OPQ的面积,相减即可④t=4时,求出即可; (3)有三种情况:①OM=PM时,求出OP=2OQ,代入求出即可;②PM=OP时,此时不存在等腰三角形;③OM=OP时,过P作PG⊥ON于G,求出OG和QG的值,代入OG+QG=t-2,即可求出答案. (1)【解析】 ∵∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2, ∴∠B=30°, ∴OA=OB=, 由勾股定理得:AB=3, ∵OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B, ∴OC=BC, 在△AOC中,AO2+AC2=CO2, ∴+(3-OC)2=OC2, ∴OC=2=BC, 答:OC=2,BC=2. (2)【解析】 ①当P在BC上,Q在OC上时,0<t<2, 则CP=2-t,CQ=t, 过P作PH⊥OC于H, ∠HCP=60°, ∠HPC=30°, ∴CH=CP=(2-t),HP=(2-t), ∴S△CPQ=CQ×PH=×t×(2-t), 即S=-t2+t; ②当t=2时,P在C点,Q在O点,此时,△CPQ不存在, ∴S=0, ③当P在OC上,Q在ON上时2<t<4, 过P作PG⊥ON于G,过C作CZ⊥ON于Z, ∵CO=2,∠NOC=60°, ∴CZ=, CP=t-2,OQ=t-2, ∠NOC=60°, ∴∠GPO=30°, ∴OG=OP=(4-t),PG=(4-t), ∴S△CPQ=S△COQ-S△OPQ=×(t-2)×-×(t-2)×(4-t), 即S=t2-t+. ④当t=4时,P在O点,Q在ON上,如图(3) 过C作CM⊥OB于M,CK⊥ON于K, ∵∠B=30°,由(1)知BC=2, ∴CM=BC=1, 有勾股定理得:BM=, ∵OB=2, ∴OM=2-==CK, ∴S=PQ×CK=×2×=; 综合上述:S与t的函数关系式是:S=; . (3)【解析】 如图(2),∵ON⊥OB, ∴∠NOB=90°, ∵∠B=30°,∠A=90°, ∴∠AOB=60°, ∵OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠BOC=30°, ∴∠NOC=90°-30°=60°, ①OM=PM时, ∠MOP=∠MPO=30°, ∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°, ∴OP=2OQ, ∴2(t-2)=4-t, 解得:t=, ②PM=OP时, 此时∠PMO=∠MOP=30°, ∴∠MPO=120°, ∵∠QOP=60°, ∴此时不存在; ③OM=OP时, 过P作PG⊥ON于G, OP=4-t,∠QOP=60°, ∴∠OPG=30°, ∴GO=(4-t),PG=(4-t), ∵∠AOC=30°,OM=OP, ∴∠OPM=∠OMP=75°, ∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°, ∴PG=QG=(4-t), ∵OG+QG=OQ, ∴(4-t)+(4-t)=t-2, 解得:t= 综合上述:当t为或时,△OPM是等腰三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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