如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120度．∠ABC、∠ACB的角平分...

①由于∠A所对弧的度数为120°，根据圆周角定理可知∠A=60°；在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°，即cos∠BFE=；故正确； ②若BC=BD，需满足一个条件：∠BCD=∠BDC，且看这两个角的表达式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠DBA+∠A=60°+∠DBA；联立两式，可得∠DBA=20°；此时∠ABC=40°，而没有任何条件可以说明∠ABC的度数是40°，即可得出本选项错误． ③由于F是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，因此F是△ABC的内心，可过F作AB、AC的垂线，通过证构建的直角三角形全等，得出FE=FD的结论，因结论正确； ④若BF=2DF，则F是△ABC的重心，即三边中线的交点，而题目给出的条件是F是△ABC的内心，显然两者的结论相矛盾，因此不正确． 所以本题正确的结论：①③． 【解析】 ∵∠A所对弧的度数为120° ∴∠A=60° ∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120° ∵∠ABC、∠ACB的角平分线分别是BD，CE ∴∠CBF+∠BCF=（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE ∴cos∠BFE=， ∴即cos∠BFE=；故①正确； ∵∠BDC=∠A+∠ABC=60°+∠DBA ∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA 若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA 应有60°+∠DBA=120°-2∠DBA， 即∠DBA=20°， 此时∠ABC=40°， ∴∠BCD=∠BDC=80°， 而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°， 故②错误； ∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB 则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120° ∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD ∴FD=FE，故③正确； 由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④不正确． 因此本题正确的结论为①③． 故答案为：①③．