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已知:如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB...

已知:如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线manfen5.com 满分网(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OB•AC=160,有下列四个结论:
①双曲线的解析式为manfen5.com 满分网(x>0);
②E点的坐标是(4,8);
③sin∠COA=manfen5.com 满分网
④AC+OB=manfen5.com 满分网,其中正确的结论有( )
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A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
过点C作CF⊥x轴于点F,由OB•AC=160可求出菱形的面积,由A点的坐标为(10,0)可求出CF的长,由勾股定理可求出OF的长,故可得出C点坐标,对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标,用待定系数法可求出双曲线(x>0)的解析式,由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标;由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值;根据A、C两点的坐标可求出AC的长,由OB•AC=160即可求出OB的长. 【解析】 过点C作CF⊥x轴于点F, ∵OB•AC=160,A点的坐标为(10,0), ∴OA•CF=OB•AC=×160=80,菱形OABC的边长为10, ∴CF===8, 在Rt△OCF中, ∵OC=10,CF=8, ∴OF===6, ∴C(6,8), ∵点D时线段AC的中点, ∴D点坐标为(,),即(8,4), ∵双曲线(x>0)经过D点, ∴4=,即k=32, ∴双曲线的解析式为:y=(x>0),故①错误; ∵CF=8, ∴直线CB的解析式为y=8, ∴,解得, ∴E点坐标为(4,8),故②正确; ∵CF=8,OC=10, ∴sin∠COA===,故③正确; ∵A(10,0),C(6,8), ∴AC==4, ∵OB•AC=160, ∴OB===8, ∴AC+OB=4+8=12,故④正确. 故选C.
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考点分析:
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